أسطورة كرة السلة

الأعدادالمركبةهيأحدالمفاهيمالأساسيةفيالرياضيات،حيثتمثلامتدادًاللأعدادالحقيقية.تُستخدمهذهالأعدادفيالعديدمنالتطبيقاتالعلميةوالهندسية،مثلتحليلالدوائرالكهربائية،ومعالجةالإشارات،وحتىفيميكانيكاالكم.فيهذاالمقال،سنستعرضتعريفالأعدادالمركبة،وخصائصهاالأساسية،وكيفيةالتعاملمعهافيالعملياتالحسابيةالمختلفة.شرحدرسالأعدادالمركبة

1.تعريفالعددالمركب

العددالمركب(ComplexNumber)هوعدديُكتبعلىالصورة:
[z=a+bi]
حيث:
-aوbهماعددانحقيقيان.
-iهيالوحدةالتخيلية،وتُعرفبأنهاالجذرالتربيعيللعدد-1،أي:
[i^2=-1]

فيهذاالتمثيل:
-aيُسمىالجزءالحقيقيللعددالمركب(RealPart).
-bيُسمىالجزءالتخيليللعددالمركب(ImaginaryPart).

2.تمثيلالأعدادالمركبةبيانيًا

يمكنتمثيلالعددالمركب(z=a+bi)علىالمستوىالإحداثي(المستوىالمركب)،حيث:
-المحورالأفقي(محورالسينات)يمثلالجزءالحقيقي.
-المحورالرأسي(محورالصادات)يمثلالجزءالتخيلي.

بهذاالشكل،يصبحلكلعددمركبنقطةمميزةفيالمستوى،ممايسهلفهمالعملياتمثلالجمعوالطرح.

3.العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة

أ.جمعوطرحالأعدادالمركبة

لجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل:
[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i]
[(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i]

ب.ضربالأعدادالمركبة

يتمضربعددينمركبينباستخدامخاصيةالتوزيع،معمراعاةأن(i^2=-1):
[(a+bi)\cdot(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i]

ج.قسمةالأعدادالمركبة

لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(وهوالعددالمركبنفسهمعتغييرإشارةالجزءالتخيلي):
[\frac{ a+bi}{ c+di}=\frac{ (a+bi)(c-di)}{ c^2+d^2}]

4.القيمةالمطلقةومرافقالعددالمركب

• القيمةالمطلقةللعدد(z=a+bi)تُحسببالعلاقة:
  [|z|=\sqrt{ a^2+b^2}]
• المرافقالمركب(ComplexConjugate)للعدد(z=a+bi)هو:
  [\overline{ z}=a-bi]

5.تطبيقاتالأعدادالمركبة

تستخدمالأعدادالمركبةفي:
-الهندسةالكهربائية:لتحليلدوائرالتيارالمتردد.
-الفيزياء:فيميكانيكاالكمونظريةالموجات.
-الرسوماتالحاسوبية:لتمثيلالحركاتالدورانية.

الخلاصة

الأعدادالمركبةأداةرياضيةقويةتُوسعنطاقالأعدادالحقيقية،ممايتيححلمعادلاتلميكنلهاحلولسابقًا.بفهمأساسياتهاوتطبيقاتها،يمكنالاستفادةمنهافيمجالاتمتعددة.نأملأنيكونهذاالشرحقدساعدكفيفهمهذاالدرسالمهم!

الأعدادالمركبةهيأحدالمفاهيمالأساسيةفيالرياضيات،وتلعبدورًامهمًافيالعديدمنالتخصصاتمثلالهندسةوالفيزياءوالهندسةالكهربائية.فيهذاالدرس،سنتعرفعلىماهيةالأعدادالمركبة،وكيفيةتمثيلها،والعملياتالحسابيةالأساسيةالتييمكنإجراؤهاعليها.

ماهيالأعدادالمركبة؟

الأعدادالمركبةهيأعدادتتكونمنجزأين:جزءحقيقي(RealPart)وجزءتخيلي(ImaginaryPart).يُكتبالعددالمركبعادةًعلىالصورة:
[z=a+bi]
حيث:
-aهوالجزءالحقيقي.
-bهوالجزءالتخيلي.
-iهيالوحدةالتخيلية،حيث(i^2=-1).

تمثيلالأعدادالمركبة

يمكنتمثيلالأعدادالمركبةبعدةطرق،منها:

1. التمثيلالجبري(AlgebraicForm):
   هوالشكلالأساسي(z=a+bi).

   شرحدرسالأعدادالمركبة

2. التمثيلالهندسي(GeometricRepresentation):
   يمكنتمثيلالعددالمركبكنقطةفيالمستوىالإحداثي(مستوىالأعدادالمركبة)،حيثيمثلالمحورالأفقيالجزءالحقيقيوالمحورالرأسيالجزءالتخيلي.

   شرحدرسالأعدادالمركبة

3. التمثيلالقطبي(PolarForm):
   يُكتبالعددالمركببالصورة(z=r(\cos\theta+i\sin\theta))أو(z=re^{ i\theta})باستخدامصيغةأويلر،حيث:

   شرحدرسالأعدادالمركبة
4. rهوالمقدار(Modulus)ويُحسببـ(r=\sqrt{ a^2+b^2}).
5. θهيالزاوية(Argument)وتُحسببـ(\theta=\tan^{ -1}\left(\frac{ b}{ a}\right)).

العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة

1. الجمعوالطرح:
   عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل.
   [(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i]

   شرحدرسالأعدادالمركبة

2. الضرب:
   يتمضربالأعدادالمركبةباستخدامخاصيةالتوزيع،معمراعاةأن(i^2=-1).
   [(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i]

   شرحدرسالأعدادالمركبة

3. القسمة:
   لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(ComplexConjugate)لتبسيطالمقام.
   [\frac{ a+bi}{ c+di}=\frac{ (a+bi)(c-di)}{ c^2+d^2}]

   شرحدرسالأعدادالمركبة

تطبيقاتالأعدادالمركبة

تستخدمالأعدادالمركبةفيالعديدمنالمجالات،مثل:
-الهندسةالكهربائية:لتحليلدوائرالتيارالمتردد.
-الفيزياء:فيدراسةالموجاتوالاهتزازات.
-معالجةالإشارات:فيتحويلفورييه(FourierTransform).

الخلاصة

الأعدادالمركبةتوسعمفهومالأعدادالحقيقيةوتقدمأدواترياضيةقويةلحلمسائلمعقدة.فهمهايتطلبإدراكالعلاقةبينالجزأينالحقيقيوالتخيلي،وكيفيةتطبيقالعملياتالحسابيةعليها.

باستيعابهذاالدرس،ستتمكنمنالتعاملمعالأعدادالمركبةبثقةواستخدامهافيالتطبيقاتالعمليةالمختلفة.