أسطورة كرة السلة

فيعالمالرياضيات،تُعتبرالأعدادالمركبة(ComplexNumbers)منالمفاهيمالأساسيةالتيتجمعبينالأعدادالحقيقيةوالأعدادالتخيلية.تُستخدمهذهالأعدادفيالعديدمنالتطبيقاتالعلميةوالهندسية،مثلمعالجةالإشاراتوالفيزياءالكميةوحتىفيالرسومياتالحاسوبية.فيهذاالمقال،سنستعرضتعريفالأعدادالمركبة،خصائصها،وكيفيةالتعاملمعها.الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

ماهيالأعدادالمركبة؟

الأعدادالمركبةهيأعدادتتكونمنجزأين:
1.جزءحقيقي(RealPart)
2.جزءتخيلي(ImaginaryPart)

ويمكنتمثيلهابالصيغةالعامة:
[
z=a+bi
]
حيث:
-(a)هوالجزءالحقيقي.
-(b)هوالجزءالتخيلي.
-(i)هوالوحدةالتخيلية،وتُعرفبأنها(i=\sqrt{ -1}).

العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة

1. الجمعوالطرح:
   عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل.
   [
   (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
   ]

   

   الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

2. الضرب:
   لضربعددينمركبين،نستخدمخاصيةالتوزيعمعتذكرأن(i^2=-1).
   [
   (a+bi)\times(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
   ]

   الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

3. القسمة:
   لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(Conjugate)لإزالةالجزءالتخيليمنالمقام.
   [
   \frac{ a+bi}{ c+di}=\frac{ (a+bi)(c-di)}{ c^2+d^2}
   ]

   الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة

يمكنتمثيلالعددالمركب(z=a+bi)كنقطةفيالمستوىالإحداثي(يُسمىمستوىالأعدادالمركبةأومستوىغاوس)،حيث:
-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي.
-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي.

كمايمكنالتعبيرعنالعددالمركبباستخدامالصيغةالقطبية:
[
z=r(\cos\theta+i\sin\theta)
]
حيث(r)هوالمقدار(Modulus)و(\theta)هوالزاوية(Argument).

تطبيقاتالأعدادالمركبة

• الهندسةالكهربائية:تُستخدمفيتحليلدوائرالتيارالمتردد.
• الفيزياء:تساعدفيحلمعادلاتميكانيكاالكم.
• معالجةالصور:تُستخدمفيتحويلاتفورييهلتحليلالإشارات.

الخلاصة

الأعدادالمركبةليستمجردمفهومنظري،بللهاتطبيقاتعمليةواسعة.بفهمأساسياتها،يمكنناحلمسائلمعقدةفيالرياضياتوالعلومالمختلفة.إذاكنتمهتمًابالرياضياتالمتقدمة،فإنإتقانالأعدادالمركبةسيفتحلكآفاقًاجديدةفيالتعلموالتطبيق.