أسطورة كرة السلة

مقدمة

الأعدادالمركبة(الأعدادالعقدية)هيأعدادرياضيةتمثلامتدادًاللأعدادالحقيقية،وتتكونمنجزأين:جزءحقيقيوجزءتخيلي.تُستخدمهذهالأعدادفيالعديدمنالمجالاتمثلالهندسةالكهربائيةوالفيزياءوالرياضياتالمتقدمة.فيهذاالمقال،سنتعرفعلىمفهومالأعدادالمركبة،خصائصها،وكيفيةالتعاملمعها.الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

تعريفالعددالمركب

العددالمركبيُكتبعادةًبالصيغة:
[z=a+bi]
حيث:
-aهوالجزءالحقيقيمنالعدد.
-bهوالجزءالتخيليمنالعدد.
-iهيالوحدةالتخيلية،حيث(i^2=-1).

خصائصالأعدادالمركبة

1. الجمعوالطرح:عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل.
   مثال:
   [(3+2i)+(1-4i)=(3+1)+(2i-4i)=4-2i]

   

   الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

2. الضرب:يتمضربالأعدادالمركبةباستخدامخاصيةالتوزيع،معمراعاةأن(i^2=-1).
   مثال:
   [(2+3i)\times(1-i)=2\times1+2\times(-i)+3i\times1+3i\times(-i)=2-2i+3i-3i^2=2+i+3=5+i]

   

   الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

3. القسمة:لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقاملإزالةالجزءالتخيليمنالمقام.
   مثال:
   [\frac{ 1+i}{ 2-i}=\frac{ (1+i)(2+i)}{ (2-i)(2+i)}=\frac{ 2+i+2i+i^2}{ 4-i^2}=\frac{ 2+3i-1}{ 4+1}=\frac{ 1+3i}{ 5}=\frac{ 1}{ 5}+\frac{ 3}{ 5}i]

   الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة

يمكنتمثيلالعددالمركب(z=a+bi)كنقطةفيالمستوىالإحداثي،حيث:
-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي(a).
-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي(b).
تُعرفهذهالطريقةبتمثيلمستوىالأعدادالمركبةأومستوىأرغاند.

القيمةالمطلقةوالزاوية

1. القيمةالمطلقة(المعيار):
   [|z|=\sqrt{ a^2+b^2}]
   تمثلمسافةالنقطةمنالأصلفيالمستوىالإحداثي.

   الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

2. الزاوية(الطور):
   [\theta=\tan^{ -1}\left(\frac{ b}{ a}\right)]
   تمثلالزاويةالتييصنعهاالمتجهمعالمحورالحقيقي.

   الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

الصيغةالقطبيةللأعدادالمركبة

يمكنكتابةالعددالمركبباستخدامالصيغةالقطبية:
[z=r(\cos\theta+i\sin\theta)]
حيث:
-(r=|z|)هوالمعيار.
-(\theta)هوالزاوية.

تطبيقاتالأعدادالمركبة

1. الهندسةالكهربائية:تُستخدمفيتحليلدوائرالتيارالمتردد.
2. الفيزياء:تساعدفيحلالمعادلاتالموجيةومعادلاتالكم.
3. الرسوماتالحاسوبية:تُستخدمفيتوليدالفركتلاتوالتحويلاتالهندسية.

الخاتمة

الأعدادالمركبةهيأداةرياضيةقويةتُستخدمفيالعديدمنالتطبيقاتالعلميةوالهندسية.منخلالفهمأساسياتهاوخصائصها،يمكنناتطبيقهافيحلالمشكلاتالمعقدةبكفاءة.نأملأنيكونهذاالمقالقدساعدكفيفهمالأعدادالمركبةبشكلأفضل!

الأعدادالمركبة(ComplexNumbers)هيأحدالمفاهيمالأساسيةفيالرياضياتالتيتجمعبينالأعدادالحقيقيةوالأعدادالتخيلية.تُستخدمهذهالأعدادعلىنطاقواسعفيالعديدمنالمجالاتمثلالهندسةالكهربائية،والفيزياء،وحتىفيعلومالحاسوب.فيهذاالمقال،سنتعرفعلىماهيةالأعدادالمركبة،كيفيةتمثيلها،العملياتالحسابيةالأساسيةعليها،وبعضالتطبيقاتالعمليةلها.

ماهيالأعدادالمركبة؟

العددالمركبهوعدديمكنالتعبيرعنهبالصيغةالتالية:
[z=a+bi]
حيث:
-(a)هوالجزءالحقيقيمنالعددالمركب.
-(b)هوالجزءالتخيليمنالعددالمركب.
-(i)هيالوحدةالتخيلية،والتيتُعرفبأنهاالجذرالتربيعيللعدد(-1)،أيأن(i^2=-1).

علىسبيلالمثال،العدد(3+4i)هوعددمركبحيثالجزءالحقيقيهو(3)والجزءالتخيليهو(4).

تمثيلالأعدادالمركبة

يمكنتمثيلالأعدادالمركبةبعدةطرق،منها:

1. التمثيلالجبري:وهوالتعبيرعنالعددالمركببالصيغة(a+bi).
2. التمثيلالهندسي:حيثيمكنتمثيلالعددالمركبكنقطةفيالمستوىالمركب(المستوىالديكارتي)،حيثيمثلالمحورالأفقيالجزءالحقيقيوالمحورالرأسيالجزءالتخيلي.
3. التمثيلالقطبي:حيثيُعبرعنالعددالمركبباستخدامالمسافةمنالأصل((r))والزاوية((\theta))بالصيغة(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)).

العملياتالحسابيةعلىالأعدادالمركبة

يمكنإجراءالعملياتالحسابيةالأساسيةمثلالجمعوالطرحوالضربوالقسمةعلىالأعدادالمركبة:

1. الجمعوالطرح:يتمجمعأوطرحالجزأينالحقيقيوالتخيليبشكلمنفصل.
   مثال:
   [(2+3i)+(1+4i)=(2+1)+(3+4)i=3+7i]

   الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

2. الضرب:يتمضربالأعدادالمركبةباستخدامخاصيةالتوزيعومراعاةأن(i^2=-1).
   مثال:
   [(1+2i)\times(3+4i)=1\times3+1\times4i+2i\times3+2i\times4i=3+4i+6i+8i^2=3+10i-8=-5+10i]

   الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

3. القسمة:تتطلبعمليةالقسمةضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقاملإزالةالجزءالتخيليمنالمقام.
   مثال:
   [\frac{ 1+2i}{ 3+4i}=\frac{ (1+2i)(3-4i)}{ (3+4i)(3-4i)}=\frac{ 3-4i+6i-8i^2}{ 9-16i^2}=\frac{ 3+2i+8}{ 9+16}=\frac{ 11+2i}{ 25}=\frac{ 11}{ 25}+\frac{ 2}{ 25}i]

   الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

تطبيقاتالأعدادالمركبة

تستخدمالأعدادالمركبةفيالعديدمنالتطبيقاتالعملية،منها:
-الهندسةالكهربائية:فيتحليلدوائرالتيارالمتردد(AC).
-معالجةالإشارات:فيتحليلالإشاراتوالموجاتباستخدامتحويلفورييه.
-الفيزياءالكمية:حيثتلعبالأعدادالمركبةدورًاأساسيًافيمعادلاتميكانيكاالكم.

الخاتمة

الأعدادالمركبةهيأداةرياضيةقويةتُستخدمفيالعديدمنالمجالاتالعلميةوالتقنية.منخلالفهمأساسياتهاوتمثيلاتهاالمختلفة،يمكنالاستفادةمنهافيحلمشكلاتمعقدةفيالهندسةوالفيزياءوغيرها.نأملأنيكونهذاالمقالقدساعدكفيفهمالأعدادالمركبةبشكلأفضل!